您现在的位置: 利记体育网>> 虞高校报>> 第0009期>> 正文内容

常见的数列递推关系及通项

文章来源:虞城高中数学组 作者:王辉林 发布时间:2009年03月10日 点击数:次 字体:

在数列学习中,常常见到数列是由其递推关系确定的,根据递推关系求解通项,除用计算——猜想——证明的思路外,通常还可以对某些递推关系进行变换,转化成学生熟知的等差、等比数列或易于求出通项表达式的数列问题来解决,下面举例说明集中常见的转化思路。
型一:数列递推关系形如an+1=an+d(d为常数)显然有an+1-an=d.这就是得到{an}是等差数列。于是an=a1+(n-1)d
型二:数列通推关系形如an+1=qan (q为非零常数),显然有= q(常数)。即{an}是等比数列,于是an= a1qn-1。
型三:数列递推关系由 an与sn给出,可利用
S1 (n=1)
Sn- Sn-1 (n≥2) 互化完成。
例1在数列{an}中,an>0,2 =an+1(n∈N+)求an
解法一:当n=1时,2 =a1+1 ∴?穴 -1?雪2=0 ∴a1=1
当n>1时,由2 =an+1有2 = Sn-Sn-1+1
∴( -1)2= Sn-1∵an>0∴Sn>0 ∴ -1= 于是
- =1即?邀 ?妖是以1为首项,1为公差的等差数列。∴ =1+(n-1)·1即 =n∴Sn= n2(n≥2)又n=1也满足此式,故Sn= n2这样n≥2时,an= Sn-Sn-1=2n-1又n=1时,a1=2×1-1=1,故an=2n-1
解法二:由2 =an+1有Sn=?穴an+1?雪2 Sn+1=?穴an+1+1?雪2两式相减,得an+1=?穴an+1-an?雪?穴 an+1+an+2?雪整理得(an+1+an)?穴an+1-an-2?雪=0 ∵an+1+ an>0 ∴an+1-an=2即?邀an?妖是以1为首项,2为公差的等差数列,∴an=2n-1
说明:解法一是把an转化成Sn,解法2是把Sn转化为an,较好地体现了含Sn和an的关系的互化。
型四:数列递推关系形如an+1= an+f?穴n?雪?熏其中?邀f?穴n?雪?妖的前有限项可求和,这种类型求an的方法一般采用累加法。
例2在数列?邀an?妖中,a1=1 an+1=an+2n 求an
解:由an+1=an+2n 把 n=1、2、3……n-1 (n≥2)
代入得n-1个式子,累加即可得(a2-a1)+?穴a3-a2?雪 +……+ ?穴an-an-1?雪=2+22+23+…+2n-1 ∴an-a1= 即an-a1=2n-2 ∴an= 2n-2+a1=2n-1
型五:数列递推关系形如an+1=g?穴n?雪an其中?邀g?穴n?雪?妖的前n项的乘积容易化简,此数列求通项一般采用累积法
例3:在数列?邀an?妖中,an+1=an a1=4 求an
解:由递推关系an+1=an,a1=4,有=,于是有=3、 =、 =……=、= 将这n-1个式子累乘得 =,∴当n≥2时
an=a1=2n?穴n+1?雪当n=1时,a1=4合乎题意,故an=2n?穴n+1?雪
型六?押数列递推关系为 an+1=pan+r?穴p、r为常数)事实上,上述数列①p=0时an+1=r为常数数列②p=1时an+1=an+r 即为等差数列③p≠0时,为一般的一阶递推关系,可采用待定系数法或作差法求an
例4已知数列?邀an?妖中a1=cosθ?熏 an+1=ansinθ+cosθ?穴n∈N+0<θ<?雪求an
解法一:(待定系数法)设an+1+λ=sinθ?穴an+λ?雪则an+1=an sinθ+(sinθ-1)λ又因an+1= an sinθ+ cosθ,比较两式有(sinθ-1)λ=cosθ,∵0<θ<,sinθ-1≠0 ∴λ=∴an+1+= sinθ(an+)即?邀an+?妖是等比数列公比为sinθ,首项为a1+=故an+=(sinθ)n-1 ∴an=
解法2:(作差)由an+1=ansinθ+cosθ 当n≥2时,
有an=an-1sinθ+cosθ两式作差得an+1-an=sinθ?穴an-an-1?雪?穴n≥2?雪由此可知?邀an+1-an?妖是以sinθ为公比的等比数列,首项a2-a1=a1 sinθ=sinθcosθ、∴an+1-an=sinθcosθsinn-1θ=cosθsinnθ又an+1= ansinθ+cosθ ∴ansinθ+cosθ-an=sinnθcosθ 即(sinθ-1)an=?穴sinnθ-1)cosθ ∵0<θ< ∴sinθ-1≠0
∴an=
解法三:由解二结构中式子知?邀an+1-an?妖等比,即为型4中的结构,故可累加得解,解略。
型七:数列递推关系形如an+1 =(m?熏p?熏r为常数,且mp≠0 )此数列求通项一般采用取倒数转化为型6的形式。
例子五:已知数列?邀an?妖中,a1=且an=(n≥2?雪
解:由递推关系式及a1=知an≠0把已知递推式两边取倒数,得=2+不妨含有则有 bn=3bn-1+2 即转化为型6③的情形可选择例4中的任意一种方法求解,过程略,结果是an=
型八:递推数列关系型如an+1=pan+rn?穴p?熏r为常数,r≠0?雪①p=0?熏1的特例、不再赘述,易求。②p≠0、1时,求通项的方法是递推关系式两边乘以转化为型6的情形求解。
例子6:已知数列?邀an?妖中,a1=1?熏 an+1=6an+3n求an
解:将an+1=6an+3n两边同时乘以有=2×+令=bn则有bn+1=2bn+即可转化成型6③以下选择型四的任何一种方法去作。略。
型九:数列的递推关系形如an+1=panr?穴p?熏r为常数,p>0?熏 an >0?雪求an时采用递推关系两边取对数的方法来做。例七:在数列?邀an?妖中,an+1=3an2且a1=3求an
解:由已知,an>0在递推关系式子两边取对数有lgan+1=2lgan+lg3令bn=lgan则bn+1=2bn+lg3即可转化成型6,③下面略。结果an= 32-1
型十:数列的递推关系是an+1=p×an+ran-1(n≥2?熏p?熏r为常数?熏且p2+4r≥0)
求an采用的方法是?押设an+1-αan=β(an-αan-1)用待定系数法求出α?熏β?熏则利用?邀an+1-αan?妖是以β为公比的等比数列求解。
例8:已知数列?邀an?妖满足an+1-5an+6an-1=0且a1=1 a2=5求数列?邀an?妖的通项
解?押设an+1-αan=β(an-αan-1)?穴n≥2?雪则an+1-?穴α+β?雪an+αβan-1=0与已知递推数列比较系数有α+β=5?熏αβ=6 ∴α=2、β=3或α=3、β=2下面我们取其中一组α=2、β=3演算(另一组略)这样已知递推式子变形为
an+1-2an=3?穴an-2an-1?雪(n≥2)即数列?邀an+1-2an?妖是等比数列公比为3?熏首项为a2-2a1=3 ∴an+1-2an=3×3n-1=3n ∴an+1=2an+3n即转化为型号8?熏下略,结果是an=3n-2n

下一篇: 祖 国[ 03-10 ]
网站地图| 资源合作| 隐私说明| 联系我们| 后台登录